確率微分方程式に向けての数学的考察

1999.9.20

1 ブラウン運動についての考察

1.1 ブラウン運動は，どのような運動か？

ブラウン運動は，１８２８年にスコットランド人の植物学者ロバート・ブラウンが発見した液体中に浮遊する花粉から出てくる微粒子の不規則な運動をいう．花粉から出てくる微粒子 ω の時刻 t での位置を表す確率過程 B_{t}(ω) を用いるが，少し一般化し， n 次元に拡張することにする．ブラウン運動を述べる前に，以下の定理を使い次ページから述べることとする．尚，書物よっては Wiener 過程となっている場合があるがここではブラウン運動の名称を用いる．

コルモゴロフの拡張定理 (Kolmogorov Extension Theorem)

R^{nk} 上の確率測度 ν_{t_{1},...,t_{k}}(t_{1}, …, t_{k}) ∈ T, k ∈ N は，任意の {1, 2, …, k} の置換 σ に対して，

ν_{t_{σ(1)},...,t_{σ(k)}}(F_{1} × ⋯ × F_{k}) = ν_{t_{1},...,t_{k}}(F_{σ^{−1}(1)} × ⋯ × F_{σ^{−1}(k)})

を満たし，かつ，すべての m ∈ N について

ν_{t_{1},...,t_{k}}(F_{1} × ⋯ × F_{k}) = ν_{t_{1},...,t_{k},t_{k+1},...,t_{k+m}}(F_{1} × ⋯ × F_{k} × R^{n} × ⋯ × R^{n})

を満たすとする．ただし上式の右辺は (k + m) 個の集合の直積である．このとき， (Ω, F, P) 上の R^{n}-値確率過程 {X_{t}} で

μ_{t_{1},...,t_{k}}(F_{1} × F_{2} × ⋯ × F_{k}) = P [X_{t_{1}} ∈ F_{1}, …, X_{t_{k}} ∈ F_{k}]

がすべての t_{i} ∈ T, k ∈ N とボレル集合 F_{i} について成り立つものが存在する.

{B_{t}}_{t≥0} を構成するには，コルモゴロフの拡張定理の条件を満たす確率測度の族 {ν_{t_{1},...,t_{k}}} を定めれば良い．これらは，花粉から出てくる微粒子の運動の観測に即して次のように定義される． x ∈ R^{n} を固定し，

p(t, x, y) = (2πt)^{−n/2} · exp (−\frac{| x − y |^{2}}{2t} ) , y ∈ R^{n}, t > 0

とする． 0 ≤ t_{1} ≤ t_{2} ≤ ⋯ ≤ t_{k} に対し， R^{nk} 上の測度 ν_{t_{1},...,t_{k}} を

ν_{t_{1},...,t_{k}}(F_{1} × ⋯ × F_{k}) = ∫_{F_{1}×···×F_{k}} p(t_{1}, x, x_{1})p(t_{2} − t_{1}, x_{1}, x_{2}) ⋯
×p(t_{k} − t_{k−1}, x_{k−1}, x_{k})dx_{1} ⋯ dx_{k}

で定める．ただし， dx_{i} は R^{n} 上のルベーグ測度であり， p(0, x, y) = δ_{x}(y)(点 x に集中したディラック測度) である．この定義をコルモゴロフの定理の１つめの条件を満たすように任意の t_{i} の有限列に拡張すると，

∫_{R^{n}} p(t, x, y)dy = 1, t ≥ 0

となるので，２つめの条件が成り立つことが分かる．従って，コルモゴロフの拡張定理より，確率空間 (Ω, F, P^{x}) とその上の確率過程 {B_{t}}_{t≥0} がとれて，その有限次元分布が上の式で与えられる．つまり，

P^{x}(B_{t_{1}} ∈ F_{1}, …, B_{t_{k}} ∈ F_{k}) = ∫_{F_{1}×···×F_{k}} p(t_{1}, x, x_{1})p(t_{2} − t_{1}, x_{1}, x_{2}) ⋯
×p(t_{k} − t_{k−1}, x_{k−1}, x_{k})dx_{1} ⋯ dx_{k}

そして，上で与えられた確率過程を x を出発するブラウン運動と呼ぶ

(P^{x}(B_{0} = x) = 1 に注意する． )

２次元のブラウン運動を例にとりＭａｔｈｅｍａｔｉｃａを用いシミュレートすると，以次ページのようになる．（ただし，コンピューターを使い連続時間を再現することは不可能なのであくまで離散時間で，時間の間隔を限りなく小さくしたものとして考えることとする．また，上下左右で期待値０の動きをすると，見にくくなるので下向きに一定の力が働いているものとする．）

ブラウン運動は一意的ではない．実際前ページの式を満たす (B_{t}, Ω, F, P^{x}) は多数存在するが，そのようなことは問題ではなく，必要に応じて適当なブラウン運動をとることができればよい．そして，ブラウン運動の経路はほとんど確実に連続であることがいえる．この意味で，ブラウン運動とは，確率測度 P^{x} を付加した空間 C([0, ∞), R^{n}) であることいえる．このような選び方をした標準的なブラウン運動という．

２次元のブラウン運動のシミュレーション

1.2 ブラウン運動の性質 (Nature of Brownian motion process)

ブラウン運動の性質は，大きく分けて３つある．

1.2.1 １つめの性質（B_{t} はガウス過程）

B_{t} はガウス過程である．すなわち，任意の 0 ≥ t_{1} ≥ ⋯ ≥ t_{k} に対し，確率変数 Z = (B_{t_{1}}, …, B_{t_{k}}) ∈ R^{nk} は多次元ガウス分布に従う．つまり，ベクトル M ∈ R^{nk} と非不定符号行列 C = [c_{jm}] ∈ R^{nk×nk}(nk × nk− 実行列の全体) が存在し，

E^{x} [exp (i ∑_{j=1}^{nk} u_{j}Z_{j})] = exp (−\frac{1}{2} ∑_{j,m} u_{j}c_{jm}u_{m} + i ∑_{j} u_{j}M_{j})

がすべての u = (u_{1}, …, u_{nk}) ∈ R^{nk} に対して成り立つ．ここで， i = \sqrt{−1} は虚数単位を表し， E^{x} は P^{x} に関する期待値を表す．さらに，上式が成り立てば．

M = E^{x}[Z] はZ の平均
(c_{jm}) = (E^{x}[(z_{j} − M_{j})(Z_{m} − M_{n})]) はZ の共分散行列

となる．また，

E^{x}[B_{t}] = x, ∀t ≥ 0
E^{x}[(B_{t} − x)^{2}] = nt, E^{x}[(B_{t} − x)(B_{s} − x)] = n min(s, t)

となる．さらに， t ≥ s ならば，

E^{x}[(B_{t} − B_{s})^{2}] = n(t − s)

である．これは次のように求められる．

E^{x}[(B_{t} − B_{s})^{2}] = E^{x}[(B_{t} − x)^{2} − 2(B_{t} − x)B_{s} − x) + (B_{s} − x)^{2}]
= n(t − 2s + s)
= n(t − s), t ≥ s

1.2.2 ２つめの性質（B_{t} は独立な増分をもつ）

B_{t} は独立な増分をもつ．すなわち，すべての 0 ≤ t_{1} ≤ ⋯ ≤ t_{k} に対し， B_{t_{1}}, B_{t_{2}} − B_{t_{1}}, …, B_{t_{k}} − B_{t_{k−1}} は独立である．これを示すには，ガイス確率変数は相関でないとき，その時に限り独立になるという事実を利用する．したがって， t_{i} < t_{j} ならば，

E^{x}[(B_{t_{i}} − B_{t_{i−1}})(B_{t_{j}} − B_{t_{j−1}})] = 0

となることを示せば良い．そして，独立であることは次のように計算され示される．

E^{x}[B_{t_{i}}B_{t_{j}} − B_{t_{i−1}}B_{t_{j}} − B_{t_{j}}B_{t_{j−1}} + B_{t_{i−1}}B_{t_{j−1}}]

= n(t_{i} − t_{i−1} − t_{i} + t_{i−1}) = 0

1.2.3 ３つめの性質

ただし，これについては，修正の概念を導入しなければいけなく，ブラウン運動の経路の連続性についてのものであり，後に述べることになるのでここでは省略する．

1.3 修正の概念 (Concept of Correction)

{X_{t}}, {Y_{t}} を (Ω, F, P) 上の確率過程とする． {X_{t}} が {Y_{t}} の修正であるとは，

P ({ω; X_{t}(ω) = Y_{t}(ω)}) = 1, ∀t

となることをいう．

1.4 ブラウン運動の経路の連続性の問題解決

ブラウン運動の経路の連続性の問題は次のコルモゴロフの定理より解決できる．

コルモゴロフの連続性定理 (Kolmogorov Continuity Theorem)

確率過程 {X_{t}}_{t≥0} を考える．もし， ∀T > 0 に対し，正の定数 α, β, D がとれて， E[| X_{t} − X_{s} |^{α}] ≤ D | t − s |^{1+β}, 0 ≤ s, t ≤ T が成立するならば， X の連続な修正が存在する．

ブラウン運動 B_{t} に対して，

E^{x}[| B_{t} − B_{s} |^{4}] = n(n + 2) | t − s |^{2}

が成り立つので，ブラウン運動はコルモゴロフの連続性定理の条件を

α = 4, D = n(n + 2), β = 1

として満足し，ゆえに連続な修正を持つ．ブラウン運動といえば，常にこの連続な修正を意味するものとする．

ブラウン運動で重要なこととして，もし， B_{t} = (B_{t}^{(1)}, …, B_{t}^{(n)}) が n 次元ブラウン運動ならば，１次元確率過程 {B_{t}^{(j)}}_{t≥0} は独立な１次元ブラウン運動であるのを忘れてはならない．

2 伊藤積分 (Ito Integral)

まだ，現在研究途中なので，この章と次の章ではこれから考察する事柄について簡潔に述べる．．

2.1 伊藤積分の定義

2.1.1 伊藤積分の性質

確率微分方程式

\frac{dX}{dt} = b(t, X_{t}) + σ(t, X_{t}) · W_{t}

を解き，近似的に応用できるようにするためには，次の性質をもたなければならない．

(i)t_{1} ≠ t_{2} ならば W_{t_{1}} と W_{t_{2}} は独立である．

(ii){W_{t}} は定常である．すなわち，同時分布 {W_{t_{1}+t}, …, W_{t_{k+t}}} は t に依らない． (iii) すべての t について E[W_{t}] = 0 となる．

ところが， (i), (ii) を満たす適切な確率過程は存在しない．なぜなら，そのような確率過程は連続な経路を持つことがないからである．けれど， W_{t} を一般化された確率過程として実現することは可能である．

2.1.2 確率過程と伊藤積分の定義

確率過程を関係式として表すと，

X_{k} = x_{0} + ∫_{0}^{t} b(t, X_{t})dt + ∫_{0}^{t} σ(t, X_{t})dB_{s}

また，伊藤積分は，

∫_{T}^{S} f(t, ω)dB_{t}(ω)

と表すことができる．

3 ある微分方程式・確率微分方程式の解とそれについての考察

微分方程式

\frac{dy}{dt} = ry

を解くと，

y = Ce^{rt}(Ｃは定数)

となる．そして，確率微分方程式

dY (t) = Y (t)(rdt + σW (t))

を解くと，

Y (t) = e^{(r− \frac{1}{2} σ^{2})t+σW (t)}

となることが知られている．そして，この解は，幾何ブラウン運動と呼ばれている．次ページから確率微分方程式の解き方を簡単に解説する。．

確率微分方程式の書き換え方についてのまとめ

確率微分方程式

\frac{dX_{t}}{dt} = b(t, X_{t}) + σ(t, X_{t})W_{t}, b(t, x) ∈ R, σ(t, x) ∈ R  (1)

は，確率積分方程式

X_{t} − X_{0} = ∫_{0}^{t} b(s, X_{s})ds + ∫_{0}^{t} σ(s, X_{s})dB_{s}

を満たすことが分かる．これを微分形で書けば，

dX_{t} = b(t, X_{t})dt + σ(t, X_{t})dB_{t}  (2)

となる． (1) から， (2) を得るには，ホワイトノイズ W_{t} を形式的に\frac{dB_{t}}{dt} で置き換え，両辺を dt 倍すれば良いことが分かる．

例えば，人口変動モデルを例にとり考える．すなわち， W_{t} はホワイトノイズ， α は定数， a_{t} = r_{t} + αW_{t} とし，与えられた初期値 N_{0} をもつ方程式

\frac{dN_{t}}{dt} = a_{t}N_{t}

を考える． r_{t} = r = 定数とする．伊藤積分による解釈 (2) により，この方程式は，

dN_{t} = rN_{t}dt + αN_{t}dB_{t}

と書き直される．そして，確率微分方程式を解くことが始まる．

確率微分方程式dN_{t} = rN_{t}dt + αN_{t}dB_{t} の解法

この方程式の両辺を N_{t} で割ると，

\frac{dN_{t}}{N_{t}} = rdt + αdB_{t}  (3)

である． B_{0} = 0 とすれば，積分して，

∫_{0}^{t} \frac{dN_{t}}{N_{t}} = rt + αB_{t}

となる．左辺を求めるために，伊藤の公式を関数

g(t, x) = log x, x > 0

に適用する．ここで，伊藤の公式は，

dY_{t} = \frac{∂g}{∂t} (t, X_{t})dt + \frac{∂g}{∂x}(t, X_{t})dX_{t} + \frac{1}{2} \frac{∂^{2}g}{∂x^{2}} · (dX_{t})^{2}

であるので，これを dX_{t} = udt + vdB_{t}, dt · dt = dt · dB_{t} = dB_{t} · dt = 0, (dB_{t})^{2} = dt となることを考慮し，適用すると，

d(log N_{t}) = \frac{1}{N_{t}} · dN_{t} + \frac{1}{2} (−\frac{1}{N_{t}^{2}} ) (dN_{t})^{2}
= \frac{dN_{t}}{N_{t}} − \frac{1}{2N_{t}^{2}} · α^{2}N_{t}^{2}dt = \frac{dN_{t}}{N_{t}} − \frac{1}{2}α^{2}dt

となる．よって，

\frac{dN_{t}}{N_{t}} = d(log N_{t}) + \frac{1}{2}α^{2}dt

である． (3) に代入するということは，

rdt + αdB_{t} = d(log N_{t}) + \frac{1}{2}α^{2}dt

となることなので，

∫_{0}^{t}(N_{s})^{−1}ds = ∫_{0}^{t}(r − \frac{1}{2}α^{2})ds + ∫_{0}^{t} αdB_{s}

を計算して，

log \frac{N_{t}}{N_{0}} = (r − \frac{1}{2}α^{2}) t + αB_{t}

つまり，解は，

N_{t} = N_{0} exp ((r − \frac{1}{2}α^{2})t + αB_{t})

dX_{t} = −\frac{1}{1+t}X_{t}dt + \frac{1}{1+t}dB_{t}, X_{0} = 0の解法

この式は，

(1 + t)dX_{t} = −X_{t}dt + dB_{t}, X_{0} = 0  (4)

と変形でき、ここで，

g(t, x) = (1 + t)x

とおき，伊藤の公式を使うと（前ページ参照），

d ((1 + t)X_{t}) = X_{t}dt + (1 + t)dX_{t}

式を並べ替えて、

(1 + t)dX_{t} = d ((1 + t)X_{t}) − X_{t}dt

となり、 (4) より、

d ((1 + t)X_{t}) − X_{t}dt = −X_{t}dt + dB_{t}

式を整理すると，

d ((1 + t)X_{t}) = dB_{t}

となり，おのおのを積分して X_{0} = 0 を使うと，

(1 + t)X_{t} = B_{t}

を導くことができ，この確率微分方程式の解は、

X_{t} = \frac{B_{t}}{1 + t}