2001.09.08
最終更新日 2002.03.19指数で表す理由
100000000000 や 100,000,000,000 を
すばやく読みあげろと言われても難しいですよね？ 私達が一目で数を識別できるのは、0.001〜10000 くらいの桁までではないでしょうか？ これよりも0が増えると、「一、十、百、千、万、･･･ 」と桁数を数えていかなければ正しく数を読みとることはできません。右側の数字は3桁ごとに区切られているので見やすくなっていますが、やはりすばやく読みとるのはたいへんです。
このように、桁が大きかったり小さかったりすると、0を並べて書いて「何千何百何十何億何万何千何百何十何」と読みあげるというこれまでのやり方は、読みとりにくいし間違えやすいし、いいことありません。
桁が大きいとか小さいことを表すために、0を書き連ねなくても、0が何個あるのかがわかれば同じことです。
ある数を10倍すると0の数(＝桁）が1つずつ増えていきます。これに注目し、大きな、あるいは小さな数を表すのに10の何倍であるかということを考えます。
大きな数字の表し方
20 は 2の10倍だから → 2×10
23 は 2.3の10倍だから → 2.3×10
230 は 2.3の100倍だから → 2.3×100 → 2.3×10×10 → 2.3×102
10を2回かけたから
895 は 8.95の100倍だから → 8.95×100 → 8.95×10×10 → 8.9×102
10を2回かけたから
5000 は 5の1000倍だから → 5×1000 → 5×10×10×10 → 5×103
10を3回かけたから
どうですか？ どんなに桁の大きな数値でも「x.xx･･･ に10を何回かければその数字になるか」を考えれば指数を用いた数に直すことができます。こうすれば、「何億何万」という面倒な言い方をしなくて済みます。
小さな数の表し方
まず始めに、10-2 の意味を覚えましょう。指数についた「-」は「引く」という意味ではありません。これは「10の2乗（つまり100）で割れ」あるいは「10で2回割れ」という意味なのです。そういうふうにしようと決められたルールなので、「-」の意味を深く考えず、そのまま覚えて使えばいいのです。
では、5×10-2 という数字の意味を考えてみましょう。これは「5を10を2回かけた数値で割れ」あるいは「5を10で2回割れ」という意味ですから、「5/100」つまり、0.05 になります。このように考えると、
0.5 は 5/10 だから → 5×10-1
0.004 は 4/1000 だから → 4/(10×10×10） → 4×10-3
0.098 は 9.87/100 だから → 9.87/(10×10） → 9.87×10-2
これで小さい数も指数を使って表すことができますね。
指数のかけ算・わり算
「指数どうしのかけ算は小さい数字どうしの足し算となる」ルールを覚えてください。例えば、
102×103 ＝ 102+3 ＝ 105
となります。
103×10-4 ＝ 103+(-4) ＝ 10-1
のように指数部分が負の数になってもかまいません。とにかく単純に足し算をすればよいのです。
「指数どうしのわり算は小さい数字どうしの引き算となる」とルールも覚えてください。例えば、
105÷102 ＝ 105-2 ＝ 103
となります。
103÷104 ＝ 103-4＝ 10-1
のように指数部分が負の数になってもかまいません。また、
102÷10-5 ＝ 102-(-5)＝ 107
のように負の指数で割れば、−と−5で＋5となります。とにかく単純に引き算をすればよいのです。
指数表示によるややこしい計算
「指数表示の数どうしのかけ算はやわり算は、小数部分は小数部分どうし、指数部分は指数部分どうしで別々に計算する」というルールを覚えてください。
（2.5×102）×（2.0×103）の計算を例に説明しましょう。ここで小数部分とは2.5や2.0のことです。また、指数部分とは102 や103 のことです。かけ算ですからどんな順序でかけてもいいので、上のルールに従って、
（2.5×2.0）×（102×103）
少数どうし 指数どうしと順序を変えて計算すると、
5.0 × 105 ･･･ 答
少数部分 指数部分となります。このようにあくまでも少数部分と指数部分とは分けて計算します。
次に （6.0×105）÷（2.0×102）を考えましょう。これも、
（6.0÷2.0）×（105÷102）
少数どうし 指数どうしと順序を変えて計算すると、
3.0 × 103 ･･･ 答
少数部分 指数部分となります。
そのほかのルール
指数計算の結果、100 や101 がでてくるときがあります。このときは次のルールに従って処理してください。
100 ＝ 1
101 ＝ 10 ← 指数が1のときは書かなくてよい
いくつかルールがでてきましたが、これらをきちんと覚えさえすれば、何も考えずにこのルールに従って機械的に計算していくだけなのです。